Matemática prática e no contexto

Jogos para as séries iniciais do Ensino Fundamental- 4º ano

DESAFIO TORRE DE HANÓI

A torre de Hanói, também conhecida por torre do bramanismo ou quebra-cabeças do fim do mundo, foi publicada em 1883 pelo matemático francês Edouard Lucas. A publicação dizia que o jogo vinha do Vietnã, sendo popular também na China e no Japão, e acompanhava a caixa do quebra-cabeça.

A Lenda

Lucas, o criador do jogo ‘Torre de Hanói’,  anexou ao seu brinquedo à seguinte lenda romântica (FERRERO, 1991; MACHADO, 1992):

 No tempo de Benares, cidade santa da Índia, sob a cúpula que marcava o centro do mundo, existia uma bandeja de bronze com três agulhas de diamantes, cada uma de um palmo de altura e da grossura do corpo de uma abelha. Durante a Criação, Deus colocou 64 discos de ouro puro em uma das agulhas, o maior deles imediatamente acima da bandeja e os demais, cada vez menores, por cima. Esta torre foi chamada de Torre de Brahma. Dia e noite os sacerdotes trocavam os discos de uma agulha para outra, de acordo com as leis imutáveis de Brahma. Essa lei dizia que o sacerdote do turno não poderia mover mais de um disco por vez, e que o disco fosse colocado na outra agulha, de maneira que o debaixo nunca fosse menor do que o de cima. Quando todos os 64 discos tivessem sido transferidos da agulha colocada por Deus no dia da Criação para outra agulha, o mundo deixaria de existir. Dizem os sábios que o mundo foi criado há 4 bilhões de anos aproximadamente e os monges, desde a criação, estão movendo os discos na razão de 1 disco por segundo.

Será que veremos o mundo acabar?

 Facilita: Planejamento de ações e raciocínio lógico, entendimento de conceitos matemáticos.

Indicação: 4º ano e 5º ano do Ensino Fundamental.

Material: Tabuleiro com três furos (a distância entre os furos deve ser próxima da medida do diâmetro do disco maior); pinos de madeira (encaixáveis nos furos do tabuleiro) e um conjunto de seis discos de diâmetros diferentes, feitos em madeira ou outro material (com um furo central, no diâmetro dos pinos).

Figura 1: desenho da Torre de Hanoi

Fonte: Khan Academy

Desafio: O desafio consiste em transferir os discos (que devem estar inicialmente empilhados em um dos pinos, em ordem decrescente de tamanho, com o maior deles na base e o menor no topo) para qualquer um dos outros pinos livres, no menor número de movimentos possível, movendo apenas um disco de cada vez sem colocar um disco maior sobre outro menor.

Construção: Os alunos podem construir seus próprios jogos, também pode ser jogado online.Jogo disponível em: http://www.jogosdaescola.com.br/play/index.php/raciocinio-logico/19-torre-de-hanoi-i . Acesso em 19/09/2016.

Atividades

Exploração: O jogo para o 4º ano do Ensino Fundamental possibilita o trabalho com conceitos matemáticos, como multiplicações sucessivas.

 Estratégias: O aluno poderá pesquisar sobre o jogo, sua história no site: http://www.jogos.antigos.nom.br/hanoi.asp . Mesmo que o professore queira fazer uma webquet ele poderá colocar essa referência no seu plano.

Sugestão: Após a consulta da turma sobre a origem do jogo Torre de Hanói, converse com a mesma sobre as descobertas feitas. Solicite para a próxima aula, que cada aluno/a leve para a escola tampas com tamanhos diferentes, de embalagens como: maionese, chocolate em pó, refrigerante, dentre outras”. Nesta aula, sugerimos que você professor/a já tenha organizado placas de madeira ou outro material resistente, em quantidade suficiente ao número de alunos/as. Faça três furos em cada placa e encaixe lápis de escrever sem estar apontado para servir de pinos, sendo três pinos para cada placa. De posse das tampinhas dos/as alunos/as faça furos no centro de cada uma, de forma que possam passar pelo lápis encaixado na placa. Assim, organize o jogo Torre de Hanói com três pinos inicialmente. 

Com o jogo confeccionado, possibilite um momento para que cada aluno/a explore e descubra como jogar. Observe as estratégias utilizadas por cada criança para depois explorar no coletivo.

Após este momento, faça uma grande roda e converse com a turma sobre as descobertas feitas. Aproveite para explicar para a turma as regras do jogo. O desafio é passar todos os discos de um pino para outro qualquer, usando um dos pinos como referência para iniciar, de maneira que um disco nunca fique sobre outro disco menor, em nenhuma situação. A quantidade mínima de discos é três. Possibilite, depois da conversa, mais um momento para que todos/as joguem, para experimentar as regras.

Para esta aula, você professor/a poderá criar um momento para que cada criança registre a forma como pensou para jogar. Propomos para esta atividade, um registro escrito com auxílio de desenho. Veja como um/a aluno/a fez o registro do jogo:

Font e: Registro do jogo Torre de Hanói. Atividade realizada em 2007 por uma aluna do 2º ano do Ensino Fundamental de nove anos da Escola de Educação Básica da Universidade Federal de Uberlândia (ESEBA)- Professora Luciana Soares Muniz. Acervo da autora.

Com os registros feitos, faça um varal na sala de aula, para que todos/as possam ler e conhecer as estratégias utilizadas pelos /as colegas.

Leve sua turma para o Laboratório de Informática e organize-os/as em duplas. Explique para a turma que irão jogar o jogo Torre de Hanói a partir de um Software. Neste jogo, as crianças terão oportunidade de incluir novos pinos e de jogar com um número maior que três pinos, aumentando assim, o nível de dificuldade. Para isso, acesse o sítio abaixo:

Fonte: http://www.somatematica.com.br/jogos/hanoi/

Depois que a turma explorou o jogo, faça um momento de produção coletiva das regras do jogo em um cartaz, com o objetivo de fixá-lo nos corredores da escola para que toda a comunidade escolar tenha acesso às informações do jogo. Aproveite o momento para confeccionar um cartaz com a história jogo, contando suas curiosidades e fixe-o junto com o cartaz das regras. As crianças poderão fazer ilustrações do jogo, de acordo com seu entendimento do mesmo.

Aprofundando a atividade

Resolver o problema para uma torre de 3, 4, 5 andares. Pergunte aos alunos em quantos passos eles realizaram a tarefa (esse número é dado pelo próprio programa do site ) caso alguns alunos tenham realizado com mais de 7 passos (no caso de 3 discos ) indique que é possível fazer em menos passos e sugira que tentem fazer no menor número de passos.

Exemplo:   2 x 2 x... – 1=

           Tanto quanto for número de discos

3 discos- (2x2x2)-1= 8-1=7

4 discos- (2x2x2x2) – 1 = 16- 1= 15

Caso os alunos tenham dificuldade para perceberem que o número de movimentos pode ser calculado através da conta

Tente direcioná-los, através de perguntas:

• Qual seria o número mínimo de movimentos?

• Quais são as peças que mais se movimentam? E as que se movimentam menos?

• Existe um “segredo” para fazer as jogadas com o menor número de movimentos? Qual?

Professor, nesse momento você estará verificando se os alunos perceberam o algoritmo que permite resolver o problema para uma torre de 3 discos, 4 discos.

Texto adaptado por Marilda M. Braga

Referências

Portal do professor, planos de aula. Disponível em: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=131 e http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=14640 . Acesso 16/09/2016.